高考数列经典题型_高考常备数列

1.数列的通项公式怎么求？我每次都在猜还猜不对，有没有什么技巧？

2.高考数列题型及解题方法

3.高考数列大题求解

4.高三总复习 数列部分 高考题 求解析

5.高中数学---数列

数列知识是高考中的重要考察内容,而数列的通项公式又是数列的核心内容之一,它如同函数中的解析式一样,有了解析式便可研究起性质等;而有了数列的通项公式便可求出任一项以及前N项和等.因此,求数列的通项公式往往是解题的突破口,关键点.故将求数列通项公式的方法做一总结,希望能对广大考生的复习有所帮助.下面就谈谈求数列通项公式的几种方法：

1、类型1?

解法：把原递推公式转化为?，利用累加法(逐差相加法)求解。

例:已知数列?满足?，?，求?。

解：由条件知：?

分别令?，代入上式得?个等式累加之，即?

所以?，?，?

2、类型2

解法：把原递推公式转化为?，利用累乘法(逐商相乘法)求解。

例:已知数列?满足?，?，求?。

解：由条件知?，分别令?，代入上式得?个等式累乘之，即

例:已知?，?，求?。

解：?

3、类型3?（其中p，q均为常数，?）。

解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：?，其中?，再利用换元法转化为等比数列求解。

例:已知数列?中，?，?，求?.

解：设递推公式?可以转化为?即?.故递推公式为?,令?，则?,且?.所以?是以?为首项，2为公比的等比数列，则?,所以?.

变式:递推式：?。解法：只需构造数列?，消去?带来的差异．

4、类型4?（其中p，q均为常数，?）。? （或?,其中p，q,? r均为常数）?。

解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以?，得：?引入辅助数列?（其中?），得：?再待定系数法解决。

例:已知数列?中，?,?，求?。

解：在?两边乘以?得：?

令?，则?,解之得：?所以?

5、类型5?递推公式为?（其中p，q均为常数）。

解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为?其中s，t满足?

例:已知数列?中，?,,?，求?。

解：由?可转化为?

即?或?

这里不妨选用?（当然也可选用?，大家可以试一试），则是以首项为?，公比为?的等比数列,所以?,应用类型1的方法，分别令?，代入上式得?个等式累加之，即又?，所以?。

6、类型6?

解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为?。

例：已知数列｛an｝满足：?，求数列｛an｝的通项公式。

解：取倒数：?是等差数列，

数列的通项公式怎么求？我每次都在猜还猜不对，有没有什么技巧？

数列问题中的数学思想方法

数列是高中数学的重要内容，它与数、式、函数、方程、不等式有着密切的联系，是每年高考的必考内容。同时数列综合问题中蕴含着许多数学思想与方法（如函数思想、方程思想、分类讨论、化归与转化思想、归纳猜想等）。在处理数列综合问题时，若能灵活运用这些数学思想与方法，则会取得事半功倍的效果。

一、 函数思想

数列是一种特殊的函数，数列的通项公式和前n项和公式都可以看成n的函数，也可以看成是方程或方程组，特别是等差数列的通项公式可以看成是n的一次函数，而其求和公式可以看成是常数项为零的二次函数，因此许多数列问题可以用函数方程的思想进行分析，加以解决。

例1.已知数列的通项公式 ，这个数列从第几项起，各项的数值逐渐增大？从第几项起各项的数值均为正？数列中是否存在数值与首项相同的项？

分析：根据条件，数列 的点都在函数 的图象上，如右图利用图象根据二次函数的性质可得，这个数列从第5项开始，各项的数值逐渐增大，从第9项起，各项的数值均为正数，第9项是与首项相同的项。

例2．已知数列 是等差数列，若 ， ，求 。

解： ，故 为等差数列，其通项为一次函数，设 ，则点 ， ，在其图象上， ， ， ，

故 ，解之得： 。

评注： 是关于n的一次函数，其图象是直线上的离散点。本题是利用待定系数法建立一次函数来求解 。

例3．设等差数列 的前n项和为 ，已知 ， ， 。

（1）求公差d的取值范围；（2）指出 、 、 …… 中哪一个值最大，并说明理由。

分析：对于（1），可考虑由 ， 建立关于d的不等式组，对于（2）由 是n的二次函数加以考虑，转化为求二次函数的最值问题。

解：（1）由 知 ，

（2）

， 是关于n的二次函数，图象的对称轴方程为： ，

， ，故当整数 时， 最大，即 最大。

评注：对于等差数列来说， 是n的二次函数，且常数项为零，可写为 的形式，其图象必过原点，对于此题来说，由于 ， ，故图象与x轴的另一交点横坐标

，满足 ，故对称轴为 ， ，因此，判定 时 最大，以上思维过程更为简捷。

例4．等差数列 的首项是2，前10项之和是15，记 求 及 的最大值．

分析：由已知可求出公差d．解好本题的关键是对“ ”这一表达式准确、全面的认识： 是数列 的子数列，其中2，4，8，……， 组成等比数列， 则是这一子数列的前n项和，认识到上述三点，问题不仅较易于解决，而且从不同角度入手可得到求 最大值的不同解法．

解：设等差数列 的公差为d，由已知：

，解得

求 的最大值有以下三种解法．

解法一：

由

令 ，解得

又 ，解得

即在数列 中：

，

所以当 时， 的值最大，其最大值为：

解法二：

数列 的通项

令 ，得 ，

由此可得

故使 ， 的最大值为4．

∴

解法三：

由 ，若存在自然数 ，

使得 ，且 ，则 的值最大．

解得 ，取 时， 有最大值：

反思回顾：上述三种求 最值的方法都是运用函数思想．解法一是通过数列 的单调性及 值的正负，求子数列 的前n项和 的最值．解法二是直接研究子数列 ．解法三是研究 的单调性求其最值，解法三还可简化为研究函数 的单调性．

二、 方程思想

数列的通项公式与前n项和的公式紧密地联系着五个基本量 ，“知三求二”是一类最基本的运算。因此方程的观点是解决此类问题的基本数学思想与方法。

例5、设 是正数组成的数列，其前 项和为 ，并且对于所有的自然数 ， 与2的等差中项等于 与2的等比中项，求 的通项公式。

解：由题意可知 整理得： ，当 时 解得 。又 - ，整理得： ，又 ， ，即 是首项为2，公差为4的等差数列， 。

点评：本例利用了方程的消元思想由 、 消去 得到了

这一方程找到了数列中相邻两项的递推关系，使问题得到了解决。值得注意的是有的时候可借助 消去 利用 递推关系解题。

例6、已知等差数列 的公差是正数，并且 ，求前n项的和 。

解：由等差数列 知： ，从而 ，故 是方程 的两根，又 ，解之，得： 。再解方程组： ，所以 。

点评：本题利用了 这一性质构造了二次方程巧妙的解出了 ，再利用方程求得了首项与公差的值，从而使问题得到解决，由此可知在数列解题时往往可借助方程的思想与 （或 ）找出解题的捷径。。

三、 分类讨论思想

所谓分类讨论，就是当问题所给出的对象不能进行统一研究时，我们就需要对所研究的对象分门别类的进行研究，最后综合各类的结果得到问题的解决。

例7、已知等差数列 的前n项的和 ，求 。

解：（1）当 时， ；

（2）当 时， ；

综合（1）（2）可知 。

点评：此例从分的体现了 与 的关系中隐含了分类讨论思想，其理由是 中脚码 必须为正整数。

例8．已知{ }是公比为q的等比数列，且 成等差数列.

（Ⅰ）求q的值；

（Ⅱ）设{ }是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n≥2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由.

解：（Ⅰ）由题设

（Ⅱ）若

当 故

若

当

故对于

例9．（江西卷）已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn－Sn－2=3 求数列{an}的通项公式.

解：方法一：先考虑偶数项有：

………

同理考虑奇数项有：

………

综合可得

例10． 设等比数列 的公比为 ，前n项和 。

（Ⅰ）求 的取值范围；

（Ⅱ）设 ，记 的前n项和为 ，试比较 与 的大小。

解：（Ⅰ）因为 是等比数列，

当

上式等价于不等式组： ①

或 ②

解①式得q>1；解②，由于n可为奇数、可为偶数，得－1<q<1.

综上，q的取值范围是

（Ⅱ）由 得

于是

又∵ >0且－1< <0或 >0

当 或 时 即

当 且 ≠0时， 即

当 或 =2时， 即

四、 化归与转化的思想

我们在处理数学问题时，常常将待解决的问题通过转化，化归成为一类我们比较熟悉问题来解决。

例11． 已知数列 的首项 ，前n项和为 ，且 ，求 的通项公式。

分析与略解：当n≥2时， ， 。两式相减，得

，

。

可见 是公比为2的等比数列。

又 ， ，

得 ，

则 。

因此 。

两边同除以 ，得

（常数），

可见 是首项为 ，公差为 的等差数列。因此

，

从而 。

评析：本例通过两次化归，第一次把数列化归为等比数列，第二次把数列化归为等差数列，随着化归的进行。问题降低了难度。

例12．设 是首项为1的正项数列，且 （n=1,2,3…），求通项 。

分析与略解：则已知有 。

由 为正项数列，知 ，故有 。（*）

方法1（叠乘法）：由（*）有

。

利用

，

得

方法2（叠加法）：由（*）式，记 ，则 。

利用 得 。

方法3（常数列）：由（*）式有 ，可知 是常数列。

则 ，

得 。

评析：有些数列不易直接化成等差或等比数列，但经推理可寻求特殊的关系转化为可求通项的数列。上例巧妙利用

和 求解。

例13、已知数列 的通项公式为 ，求此数列的前 的和 。

解：

点评：本例是利用转化与化归的思想把数列中的每一项都拆开（拆项相消法）巧妙的求前 和。

例14、求证：

证法1：令 又

证法2：令

则

；

点评：证法1采用拆项分组求和证明的，证法2采用的是倒序相加法求和证明的。

总之由上可知化归与转化的思想中隐含着许多数学方法如消元法、构造法、错位相减法、倒序相加法、拆项相消法、拆项分组求和法等。

五．归纳猜想数学归纳思想

例15．设数列{an}的首项a1=a≠ ，且 ,

记 ，n＝＝l，2，3，…?．

（I）求a2，a3；

（II）判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；

（III）求 ．

解：（I）a2＝a1+ =a+ ，a3= a2= a+ ；

（II）∵ a4=a3+ = a+ , 所以a5= a4= a+ ,

所以b1=a1－ =a－ , b2=a3－ = (a－ ), b3=a5－ = (a－ ),

猜想：{bn}是公比为 的等比数列?

证明如下：

因为bn+1＝a2n+1－ = a2n－ = (a2n－1－ )= bn, (n∈N*)

所以{bn}是首项为a－ , 公比为 的等比数列?

（III） .

例16．（湖南卷）自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用xn表示某鱼群在第n年年初的总量，n∈N*，且x1＞0.不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比，死亡量与xn2成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c.

（Ⅰ）求xn+1与xn的关系式；

（Ⅱ）猜测：当且仅当x1，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）

（Ⅱ）设a＝2，b＝1，为保证对任意x1∈（0,2），都有xn＞0，n∈N*，则捕捞强度b的

最大允许值是多少？证明你的结论.

解（I）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为axn，被捕捞量为bxn，死亡量为

（II）若每年年初鱼群总量保持不变，则xn恒等于x1， n∈N*，从而由（*）式得

因为x1>0，所以a>b.

猜测：当且仅当a>b，且 时，每年年初鱼群的总量保持不变.

（Ⅲ）若b的值使得xn>0，n∈N*

由xn+1=xn(3－b－xn), n∈N*, 知

0<xn<3－b, n∈N*, 特别地，有0<x1<3－b. 即0<b<3－x1.

而x1∈(0, 2)，所以

由此猜测b的最大允许值是1.

下证 当x1∈(0, 2) ，b=1时，都有xn∈(0, 2), n∈N*

①当n=1时，结论显然成立.

②假设当n=k时结论成立，即xk∈(0, 2),

则当n=k+1时，xk+1=xk(2－xk?)>0.

又因为xk+1=xk(2－xk)=－(xk－1)2+1≤1<2,

所以xk+1∈(0, 2)，故当n=k+1时结论也成立.

由①、②可知，对于任意的n∈N*，都有xn∈(0,2).

综上所述，为保证对任意x1∈(0, 2), 都有xn>0， n∈N*，则捕捞强度b的最大允许值是1.

例17．已知数列

（1）证明

（2）求数列 的通项公式an.

解：（1）方法一 用数学归纳法证明：

1°当n=1时，

∴ ，命题正确.

2°假设n=k时有

则

而

又

∴ 时命题正确.

由1°、2°知，对一切n∈N时有

方法二：用数学归纳法证明：

1°当n=1时， ∴ ；

2°假设n=k时有 成立，

令 ， 在[0，2]上单调递增，所以由假设

有： 即

也即当n=k+1时 成立，所以对一切

（2）下面来求数列的通项： 所以

,

又bn=－1，所以

最后，数学思想与方法是数学“灵魂”，它并不是完全抽象的东西，而是以数学知识为载体的客观存在的内容，是人们解题经验的积累，解题方法提炼和总结，具有应用性、概括性和指导性。因此在数列复习时，应高度重视数学思想方法的渗透，让学生领悟其价值、滋生应用的意识。

高考数列题型及解题方法

等比数列：

等差数列：

这个需要记住没什么技巧。做了好久才做成的，这样看起来比较清爽。

希望对你有帮助

高考数列大题求解

高考数列题型及解题方法如下：

1、高考数学选择题部分答题技巧。

高考数学的选择题部分题型考试的方向基本都是固定的，当你在一轮二轮复习过程中总结银饥谈出题目的出题策略时，答题就变得很简单了。

比如立体几何三视图，概率计算，圆锥曲线离心率等等试题中都有一些特征，只要掌握思考的切入方法和要点，再适当训练基本就可以全面突破。但是如果不掌握核心方法，单纯做题训练就算做很多题目，突破也非常困难，学习就会进入一个死循环，对照答案可锋碰以理解，但自己遇到新的题目任然无从下手。

2、高考数学关于大题方面答题技巧。

高考数学基本上三角函数或解三角形、数列、立体几何和概率统计应该是考生努力把分数拿满的题目。对于较难的原则曲线和导数两道题目基本要拿一半的分数。

考生复习时可把数学大题的每一道题作为一个独立的版块音节，先总结每道大题常考的几种题型，再专项突破里面的运算方法，图形处理方法以及解题的思考突破口，只要把这些都归纳到位，那么总结的框架套路，都是可以直接肢猜秒刷的题目的。

2023高考数学答题窍门。

跳步答题：

高考数学解题过程卡在某一过渡环节上是常见的。这时，我们可以先承认中间结论，往后推，看能否得到结论。如果不能，说明这个途径不对，立即改变方向:如果能得出预期结论，就回过头来，集中力量攻克这一“卡壳处”。

由于高考数学考试时间的限制，“卡壳处”的攻克来不及了，那么可以把前面的写下来，再写出“证实某步之后，继续有……”一直做到底，这就是跳步解答。

也许，后来中间步骤又想出来，这时不要乱七八糟插上去，可补在后面，“事实上，某步可证明或演算如下”，以保持券面的工整。若题目有两问，第一问想不出来，可把第一问作“已知”，“先做第二问”，这也是跳步解答。

极限思想解题步骤：

极限思想解决问题的一般步骤为:一、对于所求的未知量，先设法构思一个与它有关的变量:二、确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量:三、构造函数(数列)并利用极限计算法则得出结果或利用图形的极限位置直接计算结果。

高三总复习 数列部分 高考题 求解析

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高中数学---数列

7.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a5/a3=5/9,则S9/S5=多少？

∵{an}是等差数列

∴S9=(a1+a9)*9/2=2*9a5/2=9a5

S5=(a1+a5)*5/2=2a3*5/2=5a3

∴S9/S5=9a5/(5a3)=9/5*5/9=1

8.∵{an}等差数列的前n项之和，

∴ S4=4a1+6d , S8=8a1+8*7d/2=8a1+28d

∵ S4/S8=1/3

∴3(4a1+6d)=8a1+28d

∴ 2a1=5d

∴S8/S16=(8a1+28d)/(16a1+120d)

=48d/(160d)=3/10

法2：

∵ S8=3S4 ，

∴ S8-S4=2S4 ，

S12-S8=3S4 ，

S16-S12=4S4

∴S16-S4=9S4

∴S16=10S4

∴S8/S16=3/10

9.（04全国卷一文17）等差数列{an}的前n项和记为Sn已知a10=30，a20=50.

(1)求通项an;

∵ 等差数列{an} a10=30，a20=50.

∴a1+9d=30 ,a1+19d=50

∴d=2,a1=12

∴an=12+2(n-1)=2n+10

(2)

∵Sn=242

∴(12+2n+10)n/2=242

∴(n+11)n=22×11

∴n=11

A(n＋1)=Sn＋3^n =====>>>>> A(n＋1)=S(n＋1)－Sn

S(n＋1)－Sn=Sn＋3^n

S(n＋1)=2Sn＋3^n ====>>>> 两边都减去3^(n＋1)

S(n＋1)－3^(n＋1)=2Sn＋3^n－3^(n＋1)=2Sn＋3^n－3×3^n=2[Sn－3^n]

=====>>>>>> [S(n＋1)－3^(n＋1)]/[Sn－3^n]=2=常数，

又：bn=Sn－3^n，则：b(n＋1)=S(n＋1)－3^(n＋1)

则：[b(n＋1)]/[bn]=2=常数，则数列bn是以b1=S1－3=A1－3=(a－3)为首项、以q=2为公比的等比数列，得：bn=(a－3)×2^(n－1)