圆锥曲线高考真题及解析,2014圆锥曲线高考题

1.高考圆锥曲线大题题型及解题技巧

2.高考圆锥曲线运算技巧

3.2014年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）最后一题22题，关于抛物线的问题，求详细的思路和解题过程

4.定义转化法解圆锥曲线中的最值和范围问题

5.高中数学必杀题，圆锥曲线与导数

6.圆锥曲线定点定值问题方法总结

7.跪求高等数学解析几何题目

圆锥曲线定义的应用

规律与方法：

1、圆锥曲线的定义是相应标准方程和几何性质的“源”，对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略．

2、研究有关点间的距离的最值问题时，常用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为到另一焦点的距离或利用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为其到相应准线的距离，再利用数形结合的思想去解决有关的最值问题．

例1 若点M(2,1)，点C是椭圆x216＋y2

7

＝1的右焦点，点A是椭圆的动点，则|AM|＋|AC|的最

小值是________

跟踪训练1 已知椭圆x29＋y2

5＝1，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，点A(1,1)为椭圆内一点，

点P为椭圆上一点，求|PA|＋|PF1|的最大值．

2

题型二 有关圆锥曲线性质的问题

规律与方法

有关圆锥曲线的焦点、离心率、渐近线等问题是考试中常见的问题，只要掌握基本公式和概念，并且充分理解题意，大都可以顺利求解．

例2 已知椭圆x23m2＋y25n2＝1和双曲线x22m2－y2

3n2＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线

方程是

跟踪训练2 已知双曲线x2a2－y2b2＝1的离心率为2，焦点与椭圆x225＋y2

9＝1的焦点相同，那

么双曲线的焦点坐标为________；渐近线方程为________．

题型三 直线与圆锥曲线位置关系问题

规律与方法：

1．直线和圆锥曲线的位置关系可分为三类：无公共点、仅有一个公共点及有两个相异的公共点．其中，直线与圆锥曲线仅有一个公共点，对于椭圆，表示直线与其相切；对于双曲线，表示与其相切或直线与双曲线的渐近线平行；对于抛物线，表示与其相切或直线与其对称轴平行．

2．有关直线与圆锥曲线的位置关系的题目可能会涉及直线与圆锥曲线的关系中的弦长、焦点弦及弦中点问题、取值范围、最值等问题．

3．这类问题综合性强，分析这类问题，往往利用数形结合的思想和“设而不求”的方法、对称的方法及根与系数的关系等．

例3 已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1 (a>b>0)的离心率为6

3，短轴一个端点到右焦点的距离为3.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为3

2

，求△AOB面积的最大值．

3

跟踪训练3 已知向量a＝(x，3y)，b＝(1,0)且(a＋3b)⊥(a－3b)． (1)求点Q(x，y)的轨迹C的方程；

(2)设曲线C与直线y＝kx＋m相交于不同的两点M、N，又点A(0，－1)，当|AM|＝|AN|时，求实数m的取值范围

题型四 与圆锥曲线有关的轨迹问题

规律与方法：

轨迹是动点按一定规律运动而形成的，轨迹的条件可以用动点坐标表示出来．求轨迹方程的基本方法是

(1)直接法求轨迹方程：建立适当的直角坐标系，根据条件列出方程； (2)待定系数法求轨迹方程：根据曲线的标准方程； (3)定义法求轨迹方程：动点的轨迹满足圆锥曲线的定义；

(4)代入法求轨迹方程：动点M(x，y)取决于已知曲线C上的点(x0，y0)的坐标变化，根据两者关系，得到x，y，x0，y0的关系式，用x，y表示x0，y0，代入曲线C的方程． 例4 如图，已知线段AB＝4，动圆O1与线段AB切于点C，且AC－BC＝22，过点A、B分别作圆O1切线，两切线交于点P，且P、O1均在AB的同侧，求动点P的轨迹方程．

高考圆锥曲线大题题型及解题技巧

轨迹问题、中点弦问题、垂直类问题等等，不要怕算。知识结构

命题趋势分析

从近三年高考情况看，圆锥曲线的定义、方程和性质仍是高考考查的重点内容，三年平均占分20分，约为全卷分值的13.3%，在题型上一般安排选择、填空、解答各一道，分别考查三种不同的曲线，而直线与圆锥曲线的位置关系又是考查的重要方面。

例1 （2002年江苏卷理科第13题）椭圆 的一个焦点是（0，2），则k________________________________________。

分析 本题主要考查椭圆的标准方程，先将其化为标准形式，然后求解。

解 椭圆方程即 ∴ ，∴由 解得k=1。

点评 由焦点在y轴上，其标准方程应化为 的形式，若此题变化为：已知曲线 的焦距为4，则k_____________________________________。

则应分两种情况讨论：（1）若为椭圆，则k=1；（2）若为双曲线，方程即为

∴ ，由 ，由 ，得 。

例2 （2001年全国卷理科第14题）双曲线 的两个焦点为 ，点P在双曲线上，若 ，则点P到x轴的距离为_________________________________。

分析 本题主要考查双曲线的定义，从“形”的角度看，只需求出 斜边 上的高，可用第一定义求解；从“数”的角度看，只需求出点P的纵坐标 ，先利用第二定义即焦半径公式表示出 ， ，由勾股定理求出 ，再代入双曲线方程即可求出 的值；由于点P在以 为直径的圆上，因此，解决本题一个最基本的方法，则是利用交迹法求出点P。

解法一 设 ，且由双曲线的对称性不妨设点P在第一象限，则m―n=2a―6 ①， ②，

②－① 得2mn=64，∵mn=32，作PQ⊥x轴于Q，则在 中， ，即点P到x轴的距离为 ，

解法二 设 ，由第二定义可得 ， ，∵ ，

∴ ，

即 ，这里a=3 c=5 ，代入得 。

∴由双曲线方程得 ，∴ 。

解法三 设 ，∵

∴点P在以 为直径的圆上，即

①，又点P在双曲线上，

∴ ②，由①，②消去 ，得 ，∴ 。

点评 （1）由双曲线的对称性，可将点P设定在第一象限内，而不必考虑所有的情况。

（2）解题的目标意识很重要，例如在解法一中只需整体求出mn的值，而不必将m，n解出；在解法三中只需求 即可；

（3）在三种解法中，以解法三最简洁，因此，最基本的方法有时也是最有效的方法。

（4）如果将问题改为：当 为钝角时，点P的横坐标的取值范围是________________________________。

那么，可先求出使 时的点P的横坐标为 ，由图形直观及双曲线的范围可得 ，2000年高考理科第14题考查了椭圆中与此类似的问题。

例3 （2000年全国卷理科第11题）过抛物线 的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则 等于（ ）

A．2a B． C．4a D．

分析 此题主要考查抛物线的定义与标准方程，可利用焦半径公式来解决。

解 抛物线方程即 ，记 ，则F（0，m），而直线PQ的方程可设为x=k（y－m），代入抛物线方程 得

，

设 ，则

而 ，

于是， ，

。

故， 。

当k=0时，易证结论也成立，因而选C。

点评 （1）由于所给抛物线的焦点在y轴上，故其焦点是 ，焦半径公式是 ，而不能写成 。（2）解题中，令 以及将直线PQ的方程设为x=k（y－m），都是为了简化运算。（3）作为一道选择题，如此解法显然是不经济的，可以利用上节例5中的结论3直接得出结果，因此，记住一些重要结论，对提高解题效率无疑是有益的。（4）特例法也是解选择题的常用的解题方法，本题只需考虑PQ//x轴，即为通径的情况，可立即得出结果。

例4 （2001年全国卷理科第19题）设抛物线 的焦点F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC//x轴，证明直线AC经过坐标原点O。

分析 本小题主要考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能力，证明三点共线，只须证明OC、OA两直线的斜率相等，也可利用抛物线的性质证明AC与x轴的交点N恰为EF的中点，从而N与O重合，证得结论。

解法一 易知焦点 ，设直线AB的方程是 ，代入抛物线方程得

设 ，则

，即 。

因BC//x轴，且C在准线1上，故点 ，且 ，从而 ，从而

， ，

于是， ，从而A、O、C三点共线，即直线AC经过原点O。

解法二 如图，设准线1交x轴于点E，AD⊥1于D，连AC交EF于点N，由AD//EF//BC，

得 ，即 ，①

，即 ，②

又由抛物线的性质可知，|AD|=|AF|，|BC|=|BF|，代入①②可得|EN|=|NF|，即N为EF的中点，于是N与点O重合，即直线AC经过原点O。

点评 （1）本例解法一利用曲线的方程研究曲线的性质，充分体现了用坐标法研究几何问题的基本思想，而解法二则充分利用了抛物线的几何性质及相似三角形中的有关知识。（2）在解法一中，直线AB方程的设法值得推崇，从思路分析看，若证 ，即证 ，将 代入后即证 ，即证 ，为此应通过直线AB的方程及抛物线方程 联立消去x得到关于y的一元二次方程，解法一中的这一设法，既回避了直线方程的变形过程使运算简单，同时也回避了当AB⊥x轴的情况的讨论，若将AB方程设为 ，则必须对k不存在的情况作出说明。（3）试验修订本（必修）《数学》第二册（上） 习题8．6第6题是：过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q，经过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M，求证直线MQ平行于抛物线的对称轴，可见，这道高考题实际上是课本习题的一个逆命题，同学们在平时的学习中，对课本典型例题，习题要加强研究。

例5 （2002年江苏卷第20题）设A、B是双曲线 上的两点，点N（1，2）是线段AB的中点。

（1）求直线AB的方程；

（2）如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？

分析 本题主要考查直线、圆及双曲线的方程和性质，运算能力和综合运用所学知识解决问题的能力。求直线AB的方程，可以设出其点斜式，与双曲线方程联立消元，利用韦达定理及中点公式求出其斜率，由于涉及“中点弦”问题，亦可利用“设而不求”法解决。对于第（2）小题，根据图形特征，若四点共圆，则CD必为其直径，至少可有以下三种解题思路：（1）判断CD中点到四点是否等距；（2）判断是否有AC⊥AD；（3）判断A、B两点是否以CD为直径的圆上。

解 （1）解法一：设AB：y=k（x－1）+2代入 ，整理得

。①

设 ，则

，且

因N（1，2）是AB的中点，故 ，于是 ，解得k=1，从而所求直线AB的方程为y=x+1。

解法二：设 ，代入双曲线方程得

。

因N（1，2）为AB的中点，故 ， ，将它们代入上式可得 ，从而 ，于是直线AB的方程为y=x+1。

（2）将k=1代入方程①得， ，解得 ， 。

由y=x+1得， ， ，即A（－1，0），B（3，4），而直线CD的方程是y―1=―（x―2），即y=3－x，代入双曲线方程并整理得 ②

设 ，则 ， 。

解法一：设CD中点为 ，则 ，于是 ，即M（－3，6）。

因

故 。

又

即A．B．C．D四点与点M的距离相等，从而A、B、C、D四点共圆。

解法二：由 ， 得， ，

，故

，即AC⊥AD。

由对称性可知，BC⊥BD，于是A、B、C、D四点共圆。

解法三：以CD为直径的圆的方程是

，即

。

将 ， ， ， ，代入得

，即 。

因 ，

，

故A、B在以CD为直径的圆上，即A、B、C、D四点共圆。

点评 （1）处理直线与圆锥曲线相交问题时，要重视韦达定理的应用。（2）“设而不求”是解决“中点弦”问题常用的方法，通过“设而不求”可以建立弦所在直线的斜率与弦的中点坐标之间的关系，本题已知中点坐标，即可确定出直线的斜率。（3）判断四点共圆的方法很多，注意从多种不同的角度进行思考，锻炼思维的灵活性。

典型热点考题

1．探究

例6 设 分别是椭圆 的左、右焦点，试问：在椭圆上是否存在一点P，使得 ？为什么？

分析 根据点P满足的条件，探究是否能够将点P的坐标求出，若能，则存在；若不能，则不存在，求P点坐标，有以下两条思路：

思路一 设 ，用焦半径公式将 ， 用 表示，由 ，探求 是否存在。

思路二 由 知，点P在以 为直径的圆上，只须考察该圆与椭圆是否存在公共点。

思考：画一个较为准确的图形，不难发现，圆 与椭圆 没有公共点，所以这样的点P是不存在的，关键是这个椭圆太“圆”了，由此引发我们思考：为使点P存在，椭圆应尽量“扁”一些，也即其离心率应该较大，于是我们可以去思考一个一般性的问题：

一般化：若椭圆 上存在一点P，使得 ，求离心率e的取值范围。

利用例6提供的两个思路均可得到 ，从而验证了我们的猜想。

再思考：考察点P从长轴端点 始沿椭圆运动至 的过程， 由0°逐渐增大后又逐渐减小为0°，猜想在某一位置必然取得最大值，试问：这个最大值是多少？又在何处取得？从椭圆的对称性来看，我们可以猜想：当点P在短轴端点B处时， 取得最大值，是不是这样呢？

利用焦半径公式及余弦定理不难验证这一猜想是正确的。

若设 ，我们有 。

回头看，在例6中， ， ，代入可得 ，故0°≤θ≤60°，可见使θ=90°的点P是不存在的。

又一个问题：若椭圆 上存在一点P，使 （ 、 为长轴端点），求离心率e的取值范围。

分析 不再是椭圆的焦半径，按照例6中的思路一已经不能解决问题，但是我们知道，使 的点P是轨迹是关于 对称的两段圆弧，可先求出圆弧所在圆的方程，然后按照思路二进行研究，下面我们给出这一问题的解答。

解 由对称性，不妨设 ，则 ， ，由到角公式得

，即 ，

整理得， 。 ①

又 ，故 。 ②

②代入①得， 。

因点P在椭圆上，故 ，即 ，从而 ，即 ，也就是 ，从而 ，解得 ，又0<e<1，故 。

点评 （1）在解析几何中，直角一般由垂直条件来转化，而一般角则常用到角公式来转化，若想用余弦定理将无法运算进行到底。（2）注意利用椭圆的范围性，由 来建立a、b、c三者之间的不等式关系，从而求出e的范围。

2．应用。

例7 某隧道横断面由抛物线的一段和矩形的三边组成，尺寸如图，某卡车载一集装箱，箱宽3m，车与箱共高4m，试问：该车能否通过此隧道？为什么？

分析 此题为抛物线在实际问题中的应用，可利用抛物线的方程和性质进行研究。

解 以抛物线弧的顶点为原点，建立图示直角坐标系，设抛物线的方程为 ，从图示可以看出，点（3，－3）在抛物线上，故 ，得2p=3，即抛物线的方程是 。

由抛物线的对称性可知，为使此车尽量通过此隧道，车应沿隧道中线行驶，令 代入 得 ，所以集装箱两侧隧道的高度是 。

因为车与箱共高仅4米，即h>4，所以此车能通过此隧道。

点评 （1）实际问题应转化为数学问题来处理，此处通过建立坐标系转化为解析几何中的问题。（2）建系应恰当，尽量使方程为标准方程，分析问题时注意考虑图形的对称性。

高考圆锥曲线运算技巧

题型：

1、直线与圆锥曲线位置关系?

这类问题主要采用分析判别式，有

△＞0，直线与圆锥曲线相交；

△=0，直线与圆锥曲线相切；

△＜0，直线与圆锥曲线相离．

若且a=0，b≠0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点．

2、圆锥曲线与向量结合问题

3.圆锥曲线弦长问题

4.定点，定值，轨迹，参数问题

5.轨迹问题：

轨迹问题一般方法有三种：定义法，相关点法和参数法。

6.探索型，存在性问题，这类问题通常先假设存在，然后进行计算，最后再证明结果满足条件得到结论。对于较难的题目，可从特殊情况入手，找到特殊点进行分析验算，然后再得到一般性结论。

2014年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）最后一题22题，关于抛物线的问题，求详细的思路和解题过程

高考圆锥曲线运算技巧如下：

类型一：相切问题，求参数：

椭圆：A2a2+B2b2=C2 “2”是指数，ABC是直线一般方程的系数。

a不是长半轴长，是x轴上的半轴长，b是y轴上的半轴长。

相离和相交的记忆方法按圆与直线位置关系改大于和小于号即可求范围了。

类型二：切线夹角为直角：

切线焦点轨迹：椭圆：x2+y2=a2+b2。

双曲线x2+y2=a2-b2。

抛物线：准线。

圆锥曲线两点间距离公式：[（x0-x1）^2+（y0-y1）^2]^1/2=√[(1+k^2)(x0-x1)^2]。

k是两点多在直线斜率[（x0-x1）^2+（y0-y1）^2]^1/2?这步在过程中必须写，因为书上没后面这个公式，这算是一步推到步骤“^”是指数。

最后过程可以用韦达定理化简，进而直接求距离。但韦达定理有个条件在前面必须写：△>0，千万不要用类型一的式子去检验，直接交代就行。

圆锥曲线是一个几何与计算结合的问题，而不是计算题，思考深入就能少算，计算量可以弥补思考的不足。

定义转化法解圆锥曲线中的最值和范围问题

本题主要考查求抛物线的标准方程,直线和圆锥曲线的位置关系的应用,韦达定理,弦长公式的应用,体现了分类讨论的数学思想。答案看其实这题也就是中档题吧，不算太难

已知抛物线C：y^2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=5/4|PQ|．

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．

高中数学必杀题，圆锥曲线与导数

最值问题是高考的热点，而圆锥曲线的最值问题几乎是高考的必考点，不仅会在选择题或填空题中进行考察，在综合题中也往往将其设计为试题考查的核心.

解题步骤：

第一步 根据圆锥曲线的定义，把所求的最值转化为平面上两点之间的距离、点线之间的距离等；

第二步 利用两点间线段最短，或垂线段最短，或三角形的三边性质等找到取得最值的临界条件，进而求出最值.

例.已知点 是双曲线 的左焦点，定点 ， 是双曲线右支上动点，则 的最小值为____.

答案9

解析

设双曲线右焦点为 ，则

所以

圆锥曲线定点定值问题方法总结

01

下午匆匆来到自习室，开始了我的生活日常，埋头伏案，学习新知。考虑到看文字会犯困，于是我拿起了近几年的数学高考卷，计划完成两道难啃的大题——圆锥曲线和导数。总共做了四个题，连做带分析共花费了将近两小时的时间，终于搞定。我仔细想，这是低效学习吗？不，我还要花半小时的时间再次分析，这几个题的套路。

一、圆锥曲线

16,17年的这两个题，难度不大，但有共同特征。在这里重点分析第二问，毕竟第一问是送分题嘛。都考虑了直线斜率是否存在的情况。17年考察定点问题，16年考察取值范围。

关于定点问题。之前有看过一个题是利用特殊情况求出定点，再验证定点是否正。于是，针对这道题我优先采用这种方法，但结果错误，因为过程中我只求出了了横坐标，便断定这个点是轴上的点，错误。也就是，用错方法了。那么，我只好选择保守的方法，也就是万能方法做，吭哧吭哧算完了，发现粗心拖了我的后腿，结果这道题用了很长时间才算出结果。

关于取值范围。因为题中给出的条件明确，所以按部就班就可以把弦长算出来，但如果涉及到圆的弦长，尽量用几何法来做，勾股定理计算。其他题型还没见过，在摸索中……

二、导数

16,17年的这两个题，都涉及到了零点问题。第一问依然是对参数进行分情况讨论，进而求函数的单调性或者参数的取值范围，属于相对简单的题型。虽然每每做完，我总会怀疑自己的答案是否准确。注意判断等号是否成立。

第二问，这两个题都涉及到了技巧。相比之下，17年的简单一些，考察根据零点，求参数的取值范围。可以用排除法得到答案，但需要进一步验证，这是比较麻烦的事情，而且答案中突然给出的新值，我一看就蒙圈了。16年的技巧性更强一些，已知零点，证明不等式。技巧是将不等式转化成函数值域之间的不等式，求解在某个单调区间内的最值。当然，别以为这样就结束了，还有，构造出新函数，判断单调性，求极值，完成。

如此曲折的第二问，所以考试拿不到满分，一定有这个题的原因。不是每个人都能想到这一步的。出题人为何为难考生？只因我的道不够深，所以像这种题型的题，多做，多找感觉。争取拿10分。

02

话说本人高考的130分是高中生涯中的最高分了，感谢那年不是很变态的题，感谢我不讨厌数学，也感谢我如今还在学数学。

泡了很久的专业，却做得没那么专业，只知皮毛不可取，深入研究是核心。愿我在数学这条路越走越远，越走越快……正如一句话所说：既然学不死，就往死里学（好变态的一句话！）。学，才是硬道理；做，才是真理。

后记：半小时码的，将就看吧。清明节到了，祝大家有一个美好的假期。我的假期就奉献给数学吧！

如果再来一次高考，你愿意吗？

跪求高等数学解析几何题目

圆锥曲线中的定点、定值问题是高考中的常考题型，难度较大，考查知识间的联系与综合，并且此类题一般计算量都较大，费时费力难以攻破，令很多学生望而生畏. 本文给出此类问题的求解方法，希望对同学们学习有所帮助.

圆锥曲线中的定点、定值问题求解有两大方法，即参数法和由特殊到一般的方法.

圆锥曲线的定点、定值问题会涉及到曲线上的动点及动直线，所以很常用的方法就是设动点或设动直线，即引入参数解决问题，那么设参数就有两种情况，第一种是设点的坐标，第二种是设直线的斜率.

用参数法解决定点和定值问题时，对参数的处理是不同的.

求圆锥曲线方程 求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查学生识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求同学们熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题，解决这类问题常用定义法和待定系数法. ●难点磁场 1.(★★★★★)双曲线 =1(b∈N)的两个焦点F1、F2，P为双曲线上一点，|OP|＜5,|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比数列，则b2=_________. 2.(★★★★)如图，设圆P满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长比为3∶1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l：x－2y=0的距离最小的圆的方程. ●案例探究 ［例1］某电厂冷却塔的外形是如图所示的双曲线的一部分，绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面，其中A、A′是双曲线的顶点，C、C′是冷却塔上口直径的两个端点，B、B′是下底直径的两个端点，已知AA′=14 m，CC′=18 m,BB′=22 m,塔高20 m. (1)建立坐标系并写出该双曲线方程. (2)求冷却塔的容积(精确到10 m2,塔壁厚度不计，π取3.14). 命题意图：本题考查选择适当的坐标系建立曲线方程和解方程组的基础知识，考查应用所学积分知识、思想和方法解决实际问题的能力，属★★★★★级题目. 知识依托：待定系数法求曲线方程；点在曲线上，点的坐标适合方程；积分法求体积. 错解分析：建立恰当的坐标系是解决本题的关键，积分求容积是本题的重点. 技巧与方法：本题第一问是待定系数法求曲线方程，第二问是积分法求体积. 解：如图，建立直角坐标系xOy,使AA′在x轴上，AA′的中点为坐标原点O，CC′与BB′平行于x轴. 设双曲线方程为 =1(a＞0,b＞0),则a= AA′=7 又设B(11,y1),C(9,x2)因为点B、C在双曲线上，所以有 由题意，知y2－y1=20,由以上三式得：y1=－12,y2=8,b=7 故双曲线方程为 =1. (2)由双曲线方程，得x2= y2+49 设冷却塔的容积为V(m3),则V=π ,经计算，得V=4.25×103(m3) 答：冷却塔的容积为4.25×103m3. ［例2］过点(1，0)的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为 的椭圆C相交于A、B两点，直线y= x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程. 命题意图：本题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法，设计新颖，基础性强，属★★★★★级题目. 知识依托：待定系数法求曲线方程，如何处理直线与圆锥曲线问题，对称问题. 错解分析：不能恰当地利用离心率设出方程是学生容易犯的错误.恰当地利用好对称问题是解决好本题的关键. 技巧与方法：本题是典型的求圆锥曲线方程的问题，解法一，将A、B两点坐标代入圆锥曲线方程，两式相减得关于直线AB斜率的等式.解法二，用韦达定理. 解法一：由e= ,得 ,从而a2=2b2,c=b. 设椭圆方程为x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上. 则x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得，(x12－x22)+2(y12－y22)=0, 设AB中点为(x0,y0),则kAB=－ ,又(x0,y0)在直线y= x上，y0= x0,于是－ = －1,kAB=－1,设l的方程为y=－x+1. 右焦点(b,0)关于l的对称点设为(x′,y′), 由点(1,1－b)在椭圆上，得1+2(1－b)2=2b2,b2= . ∴所求椭圆C的方程为 =1,l的方程为y=－x+1. 解法二：由e= ,从而a2=2b2,c=b. 设椭圆C的方程为x2+2y2=2b2,l的方程为y=k(x－1), 将l的方程代入C的方程，得(1+2k2)x2－4k2x+2k2－2b2=0,则x1+x2= ,y1+y2=k(x1－1)+k(x2－1)=k(x1+x2)－2k=－ . 直线l：y= x过AB的中点( ),则 ,解得k=0，或k= －1. 若k=0,则l的方程为y=0,焦点F(c,0)关于直线l的对称点就是F点本身，不能在椭圆C上，所以k=0舍去，从而k=－1，直线l的方程为y=－(x－1),即y=－x+1,以下同解法一. ［例3］如图，已知△P1OP2的面积为 ，P为线段P1P2的一个三等分点，求以直线OP1、OP2为渐近线且过点P的离心率为 的双曲线方程. 命题意图：本题考查待定系数法求双曲线的方程以及综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力，属★★★★★级题目. 知识依托：定比分点坐标公式；三角形的面积公式；以及点在曲线上，点的坐标适合方程. 错解分析：利用离心率恰当地找出双曲线的渐近线方程是本题的关键，正确地表示出 △P1OP2的面积是学生感到困难的. 技巧与方法：利用点P在曲线上和△P1OP2的面积建立关于参数a、b的两个方程，从而求出a、b的值. 解：以O为原点，∠P1OP2的角平分线为x轴建立如图所示的直角坐标系. 设双曲线方程为 =1(a＞0,b＞0) 由e2= ，得 . ∴两渐近线OP1、OP2方程分别为y= x和y=－ x 设点P1(x1, x1),P2(x2,－ x2)(x1＞0,x2＞0),则由点P分 所成的比λ= =2,得P点坐标为( ),又点P在双曲线 =1上，所以 =1, 即(x1+2x2)2－(x1－2x2)2=9a2,整理得8x1x2=9a2 ① 即x1x2= ② 由①、②得a2=4,b2=9 故双曲线方程为 =1. ●锦囊妙计 一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤. 定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置. 定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2+ny2=1(m＞0,n＞0). 定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小. ●歼灭难点训练 一、选择题 1.(★★★★)已知直线x+2y－3=0与圆x2+y2+x－6y+m=0相交于P、Q两点，O为坐标原点，若OP⊥OQ，则m等于( ) A.3 B.－3 C.1 D.－1 2.(★★★★)中心在原点，焦点在坐标为(0，±5 )的椭圆被直线3x－y－2=0截得的弦的中点的横坐标为 ，则椭圆方程为( ) 二、填空题3.(★★★★)直线l的方程为y=x+3,在l上任取一点P，若过点P且以双曲线12x2－4y2=3的焦点作椭圆的焦点，那么具有最短长轴的椭圆方程为_________.4.(★★★★)已知圆过点P(4，－2)、Q(－1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为4 ，则该圆的方程为_________.三、解答题5.(★★★★★)已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个焦点为F，M是椭圆上的任意点，|MF|的最大值和最小值的几何平均数为2，椭圆上存在着以y=x为轴的对称点M1和M2，且|M1M2|= ，试求椭圆的方程.6.(★★★★)某抛物线形拱桥跨度是20米，拱高4米，在建桥时每隔4米需用一支柱支撑，求其中最长的支柱的长.7.(★★★★★)已知圆C1的方程为(x－2)2+(y－1)2= ,椭圆C2的方程为 =1(a＞b＞0)，C2的离心率为 ，如果C1与C2相交于A、B两点，且线段AB恰为圆C1的直径，求直线AB的方程和椭圆C2的方程. 参考答案难点磁场1.解析：设F1(－c,0）、F2(c,0)、P(x,y),则|PF1|2+|PF2|2=2(|PO|2+|F1O|2)＜2(52+c2),即|PF1|2+|PF2|2＜50+2c2,又∵|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|－|PF2|)2+2|PF1|·|PF2|,依双曲线定义，有|PF1|－|PF2|=4,依已知条件有|PF1|·|PF2|=|F1F2|2=4c2∴16+8c2＜50+2c2,∴c2＜ ,又∵c2=4+b2＜ ,∴b2＜ ,∴b2=1.答案：12.解法一：设所求圆的圆心为P(a,b），半径为r,则点P到x轴、y轴的距离分别为|b|、|a|∵圆P截y轴所得弦长为2，∴r2=a2+1又由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°,故弦长|AB|= r,故r2=2b2,从而有2b2－a2=1又∵点P(a,b)到直线x－2y=0的距离d= ,因此，5d2=|a－2b|2=a2+4b2－4ab≥a2+4b2－2(a2+b2)=2b2－a2=1,当且仅当a=b时上式等号成立，此时5d2=1,从而d取最小值，为此有 ,∵r2=2b2, ∴r2=2于是所求圆的方程为：(x－1）2+(y－1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2解法二：设所求圆P的方程为(x－a)2+(y－b)2=r2(r＞0)设A(0,y1),B(0,y2)是圆与y轴的两个交点，则y1、y2是方程a2+(y－b)2=r2的两根，∴y1，2=b± 由条件①得|AB|=2，而|AB|=|y1－y2|,得r2－a2=1设点C(x1,0)、D(x2,0)为圆与x轴的两个交点，则x1,x2是方程(x－a)2+b2=r2的两个根，∴x1，2=a± 由条件②得|CD|= r,又由|CD|=|x2－x1|，得2b2=r2,故2b2=a2+1设圆心P(a,b)到直线x－2y=0的距离为d= ∴a－2b=± d,得a2=(2b± d)2=4b2±4 bd+5d2又∵a2=2b2－1,故有2b2±4 bd+5d2+1=0.把上式看作b的二次方程，∵方程有实根.∴Δ=8(5d2－1)≥0,得5d2≥1.∴dmin= ,将其代入2b2±4 bd+5d2+1=0,得2b2±4b+2=0,解得b=±1.从而r2=2b2=2,a=± =±1于是所求圆的方程为(x－1)2+(y－1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2歼灭难点训练一、1.解析：将直线方程变为x=3－2y,代入圆的方程x2+y2+x－6y+m=0,得(3－2y)2+y2+(3－2y)+m=0.整理得5y2－20y+12+m=0,设P(x1,y1)、Q(x2,y2)则y1y2= ,y1+y2=4.又∵P、Q在直线x=3－2y上，∴x1x2=(3－2y1)(3－2y2)=4y1y2－6(y1+y2)+9故y1y2+x1x2=5y1y2－6(y1+y2)+9=m－3=0，故m=3.答案：A2.解析：由题意，可设椭圆方程为： =1,且a2=50+b2,即方程为 =1.将直线3x－y－2=0代入，整理成关于x的二次方程.由x1+x2=1可求得b2=25,a2=75.答案：C二、3.解析：所求椭圆的焦点为F1(－1,0),F2(1,0),2a=|PF1|+|PF2|.欲使2a最小，只需在直线l上找一点P.使|PF1|+|PF2|最小，利用对称性可解.?答案： =14.解析：设所求圆的方程为(x－a)2+(y－b)2=r2则有 由此可写所求圆的方程.答案：x2+y2－2x－12=0或x2+y2－10x－8y+4=0三、5.解：|MF|max=a+c,|MF|min=a－c,则(a+c)(a－c)=a2－c2=b2,∴b2=4,设椭圆方程为 ①设过M1和M2的直线方程为y=－x+m ②将②代入①得：(4+a2)x2－2a2mx+a2m2－4a2=0 ③设M1(x1,y1)、M2(x2,y2),M1M2的中点为(x0,y0),则x0= (x1+x2)= ,y0=－x0+m= .代入y=x,得 ,由于a2＞4,∴m=0,∴由③知x1+x2=0,x1x2=－ ,又|M1M2|= ,代入x1+x2,x1x2可解a2=5,故所求椭圆方程为： =1.6.解：以拱顶为原点，水平线为x轴，建立坐标系，如图，由题意知，|AB|=20，|OM|=4，A、B坐标分别为(－10，－4）、(10，－4）设抛物线方程为x2=－2py,将A点坐标代入，得100=－2p×(－4),解得p=12.5,于是抛物线方程为x2=－25y.由题意知E点坐标为(2，－4)，E′点横坐标也为2，将2代入得y=－0.16,从而|EE′|=(－0.16)－(－4)=3.84.故最长支柱长应为3.84米.7.解：由e= ,可设椭圆方程为 =1,又设A(x1,y1)、B(x2,y2),则x1+x2=4,y1+y2=2,又 =1,两式相减，得 =0,即(x1+x2)(x1－x2)+2(y1+y2)(y1－y2)=0.化简得 =－1,故直线AB的方程为y=－x+3,代入椭圆方程得3x2－12x+18－2b2=0.有Δ=24b2－72＞0,又|AB|= ,得 ，解得b2=8.故所求椭圆方程为 =1.