高考数学概率大题怎么做,数学概率大题高考模型

1.问一道高中数学概率题

2.古典概型题（概率）

3.请问怎样解决高中数学中关于概率排列组合题

第4章? 概率分布

4.1概率分布模型:如何用数学模型来描述现实世界

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?4.1概率分布模型:如何用数学模型来描述现实世界。

了解了一个随机事件的概率分布情况,就能描述事件所有可能的结果,就像从上帝视角俯瞰世界一样,从整体上把握这一事件的基本轮廓,这也为进一步探索其中的规律提供了可能。

随机变量与概率分布。

?如果一类事物具有共同点,这个共同点就会被抽象成一个数学量。 这个抽象出来的数学量,也就是随机事件的共同点,就是“随机变量”。

什么是随机变量呢?

?把随机事件所有可能的结果抽象成一个个随机变化的数字,每个数字都对应一个概率。这个随机变化的数字,就是随机变量。（比如抛硬币案例，把正面反面的结果分别抽象为数字1、2。这时1、2就是随机变量，它们对应的概率是二分之一。）

把随机变量的所有值和它们分别对应的概率全部统计出来后,我们就得到了另一个数学概念——概率分布。

概率分布的作用,那就是从整体上把握事件的确定性。

?每一个随机事件都有自己的概率分布。随机事件不同,共概率分布自然也不同。 不同事件的概率分布也是有规律可循的。

?比如人的身高和智商这两个事件,表面看起来毫不相关，它们的概率分布情况挺相似的,都是处于正常水平的人比较多,而特别高和特别低的人非常少。

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?概率分布模型

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?常见的正态分布、幂律分布, 泊松分布,都是这些模型中的一种。每种概率分布模型都代表着一种独特的变化规律。

概率分布模型的表示方式常见的三种。

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公式表示法, 就是用那些让人头大的数学公式来表示概率分布模型。比如正态分布。（很简洁，很精确，但门槛高，很多人看不懂。）

列表表示法, 就是把随机变量可能的取值和对应的概率全部列出来 。想知道某个值出现的概率,直接查表就好了。（很直观的表现出来概率。）

第三种是作图表示法。通常以随机变量为横坐标,以随变量对应的概率为纵坐标,画出概率分布图。（很形象，但得出的数值不够精确。）

现实世界纷繁复杂,随机变量数不胜数。

在概率学家眼里,随机变量只有两类。

已经找到了变化规律,可以用概率分布模型描述的。

还没有找到变化规律,无法用模型描述的。

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?用模型不断逼近世界的真相。

一般情况下,面对一个需要去研究的现象,专家会先假设它服从某个概率分布模型,然后再去验证这个假设。

?如果模型相头际符合得很好,就会选用这个模型。

?如果模型推测出的结论和实际情况有很大出人,专家就会考虑换一种模型。

我们选错了模型,而不是说模型本身是错的。

?概率分布模型是逻辑的产物,百分之百是正确的;但是模型那么多,我们选择时可能会出错。

?菜刀的设计没有错,但你用菜刀钉钉子,就难免会伤到手。错的不是菜刀,而是你选错了工具。（选错了工具，就要换个工具，用其他适合的工具解决问题。）

问一道高中数学概率题

概率的基本性质 (1) 0≤P(A) ≤1; (2) P(必然事件 =1；(3) P(不可能事件 =0 必然事件)； 不可能事件) 必然事件 不可能事件 (4) 事件 与事件 互斥，则 事件A与事件 互斥， 与事件B互斥 P(A∪B)= P(A) +P(B) (概率加法公式∪ 概率加法公式) 概率加法公式 (5)事件 与事件 对立，则事件A与事件 对立， 事件 与事件B对立 P(A∪B)= P(A) +P(B) =1∪或 P(A) = 1-P(B) . -

推广 (4) 事件 1 , A2 , … , An 两两互斥，则 事件A 两两互斥，P(A1∪A2 ∪…∪ An) = P(A1) +P(A2 ) +…+P(An) … 概率加法公式

古典概型题（概率）

概率题。你得学会多角度思考。一个角度思考很容易出问题。

你一个角度思考出答案了。你得用另外一个角度思考去验证。我这边就不尝试了。呵呵

第一题是 摸到球不放回。第三次摸到3号 那简单了。。其实就是抽签问题 答案肯定是 1/4

我用另外一种方法 第一次 取到非3号球概率 3/4 第二次取到非3号球概率 2/3 第三次取到 3号球 概率 1/2 将三个数乘起来 就得到是1/4了（这道题目是典型的抽签原理模型）

第二道题目 因为 有放回。。所以每次摸到每个号的球概率是一样的

那么分析下题目，最大是3.那就说明至少有一次是3.所以可以这算，只有一次摸到3 两次摸到3 三次都摸到3.概率分别是 (3取1)(1/4)*(3/4)*(3/4) （3取2）(1/4)^2(3/4) (3取3)（1/4）^3 几个加起来就是结果了

这是概率的二项分布 可以去查查，典型的概率模型

另外一个思路。就是扣去 都没摸到3的。。就是1-（3/4）^3

不懂的hi我

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我得承认LS的帮我把题目改对了！我做错了 呵呵。我就不改了，你看LS的吧

不过 有时间的话 你最好去查查几个典型的概率分布模型，这对理解概率蛮有帮助的。

几何分布 二次分布 古典概率 伯努利实验。等等。

请问怎样解决高中数学中关于概率排列组合题

概率是近代数学的重要分支，而古典概型又是概率的重要组成部分。它既与现实生活联系密切，又能考查学生应用数学知识分析问题、解决问题的能力。因此，新课程卷中象天津、四川、湖北等省市，在高考中皆以古典概型的题目出现，并且越来越被受到重视。其难度为中等或中等偏易，特点是立意新颖、设问巧妙、贴近生活。它已成为高考一个新的命题热点。所以深刻地掌握古典概型的特点和研究古典概型的解题策略显得尤为重要。

古典概型具有两大特点：

（1） 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；

（2） 每个基本事件出现的可能性相等。

下面谈谈求古典概型的概率的几种解题策略。

1.利用互斥事件或对立事件求概率

为避免复杂的计算，有时我们可以将所求的事件化为较简单易求的彼此互斥的事件的和事件，也可以利用对立事件来求。

例2 袋中装有白球和黑球各3个，从中任取2个，则至多有一个黑球的概率是多少？

分析：分类讨论或利用对立事件

解法1：从袋中任取2个球，共有6ⅹ5÷2=15种可能结果。“从中任取2个，则至多有一个黑球”看作是事件“都是白球”与“一个黑球，一个白球”这两个互斥事件的并。“都是白球”有3ⅹ2÷2=3种可能结果，“一个黑球，一个白球”有3ⅹ3=9种可能结果。设事件A为“至多有一个黑球”。则事件A包含的基本事件个数为9+3=12种。

因此，事件A的概率P(A)= =0.8

解法2：事件A的对立事件是：“两个都是黑球（记为事件B）”，事件B包含的基本事件个数是3ⅹ2÷2=3种。

因此，事件A的概率P(A)=1-P(B)=1- =0.8

2.利用公式

P(A)=事件A包含的基本事件个数/基本事件的总数

例1 现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品。

（1）如果从中取出一件，然后放回，再任取一件，然后再放回，再任取一件，求连续3次取出的都是正品的概率。

（2）如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率。

分析：（1）为有放回抽样；（2）为不放回抽样

解：（1）有放回的抽取3次，按抽取顺序记录结果（x,y,z），则x,y,z都有10种可能，所以试验的所有结果为10ⅹ10ⅹ10=1000种。

设事件A为“连续3次取出的都是正品”，按上述计算方法，包含的基本事件共有8ⅹ8ⅹ8=512。

因此，事件A的概率是P(A)= =0.512

（2） 法1：可以看成不放回抽样3次，顺序不同，基本事件不同。按顺序记录结果（x,y,z）,则x有10种可能，y有9中可能，z有8中可能，所以试验的所有结果为10ⅹ9ⅹ8=720种。

设事件B为“3件都是正品”，按上述计算方法，包含的基本事件共有8ⅹ7ⅹ6=336种。因此，事件B的概率P(B)= ≈0.467

法2：可以看成不放回的抽样3次，无顺序，先按抽取顺序记录结果（x,y,z），则x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，但(x,y,z),(x,z,y),(y,x,z),(y,z,x),(z,x,y),(z,y,x)是相同的，所以试验的所有可能结果为10ⅹ9ⅹ8÷6=120种，按同样方法计算，事件B包含的基本事件共有8ⅹ7ⅹ6÷6=56种。

因此事件B的概率P(B)= ≈0.467.

点评：关于不放回抽样，计算基本事件个数时，既可以看成有顺序的，又可以看成无顺序的，其结果是一样的，但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会产生错误。

3.借助集合的交、并求概率

由于试验可能出现的结果的全体可以看成集合，即看成全集，每个事件都可以看成全集的一个子集，把事件与集合对应起来，就建立了集合与事件的概率之间的联系。因此我们可以借助集合的运算和性质简练地解决有关概率问题，且更容易理解。

例3 从1∽100中随机的取一个整数，求：（1）它同时能被6和8整除的概率；（2）它能被6或8整除的概率.

解析：（1）从中随机取一个整数，可能出现的结果有100种，被6和8整除的数即为被24整除的数，由1≤24n≤100（n∈ ）得1≤n≤4,所以被6和8整除的数可能出现的结果有4种，“被6和8整除”为事件A，则P(A)= = .

(2)由1≤6n1≤100，得1≤n1≤16，由1≤8n2≤100得1≤n2≤12，所以被6整除的数可能出现的结果有16种，被8整除的数可能出现的结果有12种，又被6和8整除的数可能出现的结果有4种，所以被6或8整除的数可能出现的结果有16+12-4=24。记“被6或8整除”为事件B,P(B)= = .

4．建立古典概率模型

古典概型具有应用性很强的特点，生活中许多现象经过分析，符合古典概率的特征。因此我们可以建立其模型得以解决。

例4 为调查某野生动物保护区内某种野生动物的数量，调查人员某天逮到这种动物1200只作过标记后放回，一周后，又逮到这种动物1000只，其中有作过标记的100只，如何估算保护区内有这种动物多少只？

分析：首先这是生活中的实际问题，我们不可能一只一只地去数这种野生动物的数量，也完全没有必要，因为这样做浪费了必要的人力、物力和财力，因此需要我们建立数学模型。而按照概率方法可以很好的解决这一问题。

解：由于每只动物被逮到的可能性是相同的，而且所有的动物是有限的，故可以建立古典概型。设保护区内共有这种野生动物x只，每只动物被逮到的概率是相同的。所以x/1200=100/1000.按此方法估算，保护区内约有这种动物12000只。

点评；这道题正是运用数学知识，建立了古典概型，进行了估算。实践证明，这种按概率方法进行的估算，其误差是相当小的，而且节省了人力、物力和财力。

5．利用方程思想研究概率

例5 某班现有学生36人，现从中选出2人去完成一项任务，设每人当选是等可能的。若选出的2人性别相同的概率为0.5,求该班的男、女生人数.

思路点拔：首先求出所有基本事件总数；设男生n人，则女生36-n人，求出性别相同的基本事件数；列出方程求解；检验n值是否符合题意。

解：从36人任选2人，按出场顺序记录结果(x,y)，由于每人当选是等可能的，x有36种可能，y有35种可能，但是(x,y)与(y,x)是一样的，所以选取的所有结果有36ⅹ35÷2=630种。按同样的计算方法，如果所选2人都是男生，则有n（n-1)÷2种结果；如果所选2人都是女生，则有(36-n)(35-n)÷2种结果。设事件A为“性别相同”，则事件A包含的基本事件数为n(n-1)÷2+(36-n)(35-n)÷2种。由题意知：

P(A)=[ n(n-1)÷2+(36-n)(35-n)÷2]/630=1/2.

即 2n-36n+15=0

解得n=15，或n=21.

经检验可知都满足条件，所以该班男生15人、女生21人，或男生21人、女生15人。

6．利用计算机（或计算器）随即模拟试验的方法来估计事件的概率

随着计算机的普及，它已被广泛地应用到教学科研等许多领域，我们可以借助计算机模拟随机实验解决概率问题。

下面以掷硬币为例给出计算机产生随机数的方法。每个具有统计功能的软件都有随机函数。以Excel软件为例，打开Excel软件，执行下面的步骤：

1.选定A1格，键入”=RANDBETWEEN(0,1)”，按Enter键，则在此格中的数是随机产生的0或1。

2.选定A1格，按Ctrl+C快捷键，然后选定要随机产生的0、1的格，比如A2至A100按Ctrl+V快捷键,则在A2100的数均为随机产生的0或1，这样我们很快就得到了100个随机产生的0、1，相当于做了100次随机试验。、

3.选定C1格，键入频数函数”=FREQUENCY(A1:A100,0.5)”，按Enter键，则此格中的数是统计A1至A100中，比0。5小的数的个数，即0出现的频数，也就是反面朝上的频数。

4.选定D1格，键入”=1-C1/100”,按Enter键，在此格中的数是这100次试验中出现1的频率，即正面朝上的频率。

上面用计算机模拟了掷硬币的试验，我们称这种方法为随机模拟方法

例6 天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率为1/2，这三天中恰有一天下雨的概率是多少？

分析：这里试验出现的可能结果是有限个，并且每个结果的出现是等可能的，用计算机做模拟试验可以模拟下雨出现的概率是2/5。

解： 我们通过设计模拟试验的方法来解决问题，利用计算机可以产生0到9之间取整数值的随机数，我们用0、1、2、3、4表示下雨，用5、6、7、8、9、表示不下雨，这样 可以体现下雨的概率是1/2，因为是3天，所以三个随机数作为一组。例如，产生20组随机数

537 113 989 907 966 191 925 271 932 812

458 056 683 431 257 393 027 556 488 730

就相当于做了20次试验。在这组数中，如果恰有一个数在0、1、2、3、4中，则表示恰有一天下雨，它们分别是537、907、925、458、056、683、257、488，即共有8个数。我们得到三天恰有一天下雨的概率近似为8/20=2/5。

总之，生活中的许多问题，如：摸球、分房、生日、配对、**中奖、天气预测等问题往往可归结为古典概型来解决。

参考文献：

1 魏宗舒 概率论与数理统计教程 北京：高等教育出版社，1999

2 刘绍学 高中数学必修三 北京：人民教育出版社，2005

排列组合问题的解题策略

关键词： 排列组合,解题策略

一、相临问题——捆绑法

例1．7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？

解：两个元素排在一起的问题可用“捆绑”法解决，先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进行排列，并考虑甲乙二人的顺序，所以共有 种。

评注：一般地: 个人站成一排,其中某 个人相邻,可用“捆绑”法解决，共有 种排法。

二、不相临问题——选空插入法

例2． 7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？

解：甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空”法，所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为： 种 .

评注：若 个人站成一排，其中 个人不相邻，可用“插空”法解决，共有 种排法。

三、复杂问题——总体排除法

在直接法考虑比较难，或分类不清或多种时，可考虑用“排除法”，解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素的限制。

例3.(1996年全国高考题)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有多少个.

解：从7个点中取3个点的取法有 种，但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线不能组成三角形，有3条，所以满足条件的三角形共有 －3＝32个.

四、特殊元素——优先考虑法

对于含有限定条件的排列组合应用题，可以考虑优先安排特殊位置，然后再考虑其他位置的安排。

例4． (1995年上海高考题) 1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法 种．

解：先考虑特殊元素（老师）的排法，因老师不排在两端，故可在中间三个位置上任选一个位置，有 种，而其余学生的排法有 种，所以共有 ＝72种不同的排法.

例5．（2000年全国高考题）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有 种.

解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力队员，有 种排法，而其余7名队员选出2名安排在第二、四位置，有 种排法，所以不同的出场安排共有 ＝252种.

五、多元问题——分类讨论法

对于元素多，选取情况多，可按要求进行分类讨论，最后总计。

例6．（2003年北京春招）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（A ）

A．42 B．30 C．20 D．12

解：增加的两个新节目，可分为相临与不相临两种情况：1.不相临：共有A62种；2.相临：共有A22A61种。故不同插法的种数为：A62 +A22A61=42 ，故选A。

例7．（2003年全国高考试题）如图， 一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有多少种？（以数字作答）

解：区域1与其他四个区域相邻，而其他每个区域都与三个区域相邻，因此，可以涂三种或四种颜色． 用三种颜色着色有 =24种方法, 用四种颜色着色有 =48种方法,从而共有24+48=72种方法,应填72.

六、混合问题——先选后排法

对于排列组合的混合应用题，可采取先选取元素，后进行排列的策略．

例8．（2002年北京高考）12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（ ）

A． 种 B． 种

C． 种 D． 种

解：本试题属于均分组问题。 则12名同学均分成3组共有 种方法,分配到三个不同的路口的不同的分配方案共有： 种，故选A。

例9．（2003年北京高考试题）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（ ）

A．24种 B．18种 C．12种 D．6种

解:先选后排,分步实施. 由题意，不同的选法有: C32种,不同的排法有: A31·A22,故不同的种植方法共有A31·C32·A22=12，故应选C.

七．相同元素分配——档板分隔法

例10．把10本相同的书发给编号为1、2、3的三个学生阅览室，每个阅览室分得的书的本数不小于其编号数，试求不同分法的种数。请用尽可能多的方法求解，并思考这些方法是否适合更一般的情况？

本题考查组合问题。

解：先让2、3号阅览室依次分得1本书、2本书；再对余下的7本书进行分配，保证每个阅览室至少得一本书，这相当于在7本相同书之间的6个“空档”内插入两个相同“I”（一般可视为“隔板”）共有 种插法，即有15种分法。

总之，排列、组合应用题的解题思路可总结为：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类为加，分步为乘。

具体说，解排列组合的应用题，通常有以下途径：

（1）以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素。

（2）以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置。

（3）先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不合要求的排列组合数。

排列组合问题的解题方略

湖北省安陆市第二高级中学 张征洪

排列组合知识，广泛应用于实际，掌握好排列组合知识，能帮助我们在生产生活中，解决许多实际应用问题。同时排列组合问题历来就是一个老大难的问题。因此有必要对排列组合问题的解题规律和解题方法作一点归纳和总结，以期充分掌握排列组合知识。

首先，谈谈排列组合综合问题的一般解题规律:

1）使用“分类计数原理”还是“分步计数原理”要根据我们完成某件事时采取的方式而定，可以分类来完成这件事时用“分类计数原理”，需要分步来完成这件事时就用“分步计数原理”；那么，怎样确定是分类，还是分步骤？“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给的事件，而“分步”必须把各步骤均完成才能完成所给事件，所以准确理解两个原理强调完成一件事情的几类办法互不干扰，相互独立，彼此间交集为空集，并集为全集，不论哪类办法都能将事情单独完成，分步计数原理强调各步骤缺一不可，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，步与步之间互不影响，即前步用什么方法不影响后面的步骤采用的方法。

2）排列与组合定义相近，它们的区别在于是否与顺序有关。

3）复杂的排列问题常常通过试验、画 “树图 ”、“框图”等手段使问题直观化，从而寻求解题途径，由于结果的正确性难于检验，因此常常需要用不同的方法求解来获得检验。

4）按元素的性质进行分类，按事件发生的连续性进行分步是处理排列组合问题的基本思想方法，要注意“至少、至多”等限制词的意义。

5）处理排列、组合综合问题，一般思想是先选元素（组合），后排列，按元素的性质进行“分类”和按事件的过程“分步”，始终是处理排列、组合问题的基本原理和方法，通过解题训练要注意积累和掌握分类和分步的基本技能，保证每步独立，达到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。

6）在解决排列组合综合问题时，必须深刻理解排列组合的概念，能熟练地对问题进行分类，牢记排列数与组合数公式与组合数性质，容易产生的错误是重复和遗漏计数。

总之，解决排列组合问题的基本规律，即：分类相加，分步相乘，排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；正难则反，间接排除等。

其次，我们在抓住问题的本质特征和规律，灵活运用基本原理和公式进行分析解答的同时，还要注意讲究一些解题策略和方法技巧，使一些看似复杂的问题迎刃而解。下面介绍几种常用的解题方法和策略。

一．特殊元素（位置）的“优先安排法”：对于特殊元素（位置）的排列组合问题，一般先考虑特殊，再考虑其他。

例1、 用0，2，3，4，5，五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）。

A． 24个 B.30个 C.40个 D.60个

[分析]由于该三位数为偶数，故末尾数字必为偶数，又因为0不能排首位，故0就是其中的“特殊”元素，应该优先安排，按0排在末尾和0不排在末尾分两类：1）0排末尾时，有A42个，2）0不排在末尾时，则有C21 A31A31个，由分数计数原理，共有偶数A42 + C21 A31A31=30个，选B。

二．总体淘汰法：对于含否定的问题，还可以从总体中把不合要求的除去。如例1中，也可用此法解答:五个数字组成三位数的全排列有A53个，排好后发现0不能排首位，而且数字3，5也不能排末位，这两种排法要排除，故有A53--3A42+ C21A31=30个偶数。

三．合理分类与准确分步含有约束条件的排列组合问题，按元素的性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。

四．相邻问题用捆绑法：在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先整体考虑，将相邻的元素“捆绑”起来，看作一“大”元素与其余元素排列，然后再考虑大元素内部各元素间顺序的解题策略就是捆绑法．

例2、有8本不同的书；其中数学书3本，外语书2本，其它学科书3本．若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法共有( )种．(结果用数值表示)

解：把3本数学书“捆绑”在一起看成一本大书，2本外语书也“捆绑”在一起看成一本大书，与其它3本书一起看作5个元素，共有A55种排法；又3本数学书有A33种排法，2本外语书有A22种排法；根据分步计数原理共有排法A55 A33 A22=1440(种).

注：运用捆绑法解决排列组合问题时，一定要注意“捆绑”起来的大元素内部的顺序问题．

五．不相邻问题用“插空法”：不相邻问题是指要求某些元素不能相邻，由其它元素将它们隔开．解决此类问题可以先将其它元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入到它们的间隙及两端位置，故称插空法．

例3、用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，2与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻。这样的八位数共有( )个．(用数字作答)

解：由于要求1与2相邻，2与4相邻，可将1、2、4这三个数字捆绑在一起形成一个大元素，这个大元素的内部中间只能排2，两边排1和4，因此大元素内部共有A22种排法，再把5与6也捆绑成一个大元素，其内部也有A22种排法，与数字3共计三个元素，先将这三个元素排好，共有A33种排法，再从前面排好的三个元素形成的间隙及两端共四个位置中任选两个，把要求不相邻的数字7和8插入即可，共有A42种插法，所以符合条件的八位数共有A22 A22 A33 A42＝288(种)．

注：运用“插空法”解决不相邻问题时，要注意欲插入的位置是否包含两端位置．

六．顺序固定用“除法”：对于某几个元素按一定的顺序排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列，然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。

例4、6个人排队，甲、乙、丙三人按“甲---乙---丙”顺序排的排队方法有多少种？

分析：不考虑附加条件，排队方法有A66种，而其中甲、乙、丙的A33种排法中只有一种符合条件。故符合条件的排法有A66 ÷A33 =120种。(或A63种)

例5、4个男生和3个女生，高矮不相等，现在将他们排成一行，要求从左到右女生从矮到高排列，有多少种排法。

解：先在7个位置中任取4个给男生，有A74 种排法，余下的3个位置给女生，只有一种排法，故有A74 种排法。(也可以是A77 ÷A33种)

七．分排问题用“直排法”：把几个元素排成若干排的问题，可采用统一排成一排的排法来处理。

例6、7个人坐两排座位，第一排3个人，第二排坐4个人，则不同的坐法有多少种？

分析：7个人可以在前两排随意就坐，再无其它条件,故两排可看作一排来处理，不同的坐法共有A77种。

八．逐个试验法：题中附加条件增多，直接解决困难时，用试验逐步寻找规律。

例7.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的方格中，每方格填1个，方格标号与所填数字均不相同的填法种数有（ ）

A．6 B.9 C.11 D.23

解：第一方格内可填2或3或4，如第一填2，则第二方格可填1或3或4，若第二方格内填1，则后两方格只有一种方法；若第二方格填3或4，后两方格也只有一种填法。一共有9种填法，故选B

九、构造模型 “隔板法”

对于较复杂的排列问题，可通过设计另一情景，构造一个隔板模型来解决问题。

例8、方程a+b+c+d=12有多少组正整数解？

分析：建立隔板模型：将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的11个间隙中任意插入3块隔板，把球分成4堆，每一种分法所得4堆球的各堆球的数目，对应为a、b、c、d的一组正整解，故原方程的正整数解的组数共有C113 .

又如方程a+b+c+d=12非负整数解的个数,可用此法解。

十.正难则反——排除法

对于含“至多”或“至少”的排列组合问题，若直接解答多需进行复杂讨论，可以考虑“总体去杂”，即将总体中不符合条件的排列或组合删除掉，从而计算出符合条件的排列组合数的方法．

例9、从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有( )种．

A．140种 B．80种 C．70种 D．35种

解：在被取出的3台中，不含甲型或不合乙型的抽取方法均不合题意，因此符合题意的抽取方法有C93-C43-C53=70(种)，故选C．

注：这种方法适用于反面的情况明确且易于计算的习题．

十一．逐步探索法：对于情况复杂，不易发现其规律的问题需要认真分析，探索出其规律

例10、从1到100的自然数中，每次取出不同的两个数，使它们的和大于100，则不同的取法种数有多少种。

解：两个数相加中以较小的数为被加数，1+100>100，1为被加数时有1种，2为被加数有2种，…，49为被加数的有49种，50为被加数的有50种，但51为被加数有49种，52为被加数有48种，…，99为被捕加数的只有1种，故不同的取法有（1+2+3+…+50）+（49+48+…+1）=2500种

十二．一一对应法：

例11.在100名选手之间进行单循环淘汰赛（即一场失败要退出比赛）最后产生一名冠军，要比赛几场？

解：要产生一名冠军，要淘汰冠军以外的所有选手，即要淘汰99名选手，要淘汰一名就要进行一场，故比赛99场。

应该指出的是，以上介绍的各种方法是解决一般排列组合问题常用方法，并非绝对的。数学是一门非常灵活的课程，同一问题有时会有多种解法，这时，要认真思考和分析，灵活选择最佳方法．还有像多元问题“分类法”、环排问题“线排法”、“等概率法”等在此不赘述了。