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高考数列放缩问题及答案_高考数列放缩
tamoadmin 2024-05-27 人已围观
简介1.高中数学 数列放缩问题放缩法：常用于证明数列的不等式，需要注意左右式子的特点，比如有根号，或平方，或有理化。要针对不同的特点来处理，然后再放缩。举个例子：证明(3/2)*(5/4)*(7/6)*…*(2n+1)/2n>根号n+1，n?正整数，右边有根号，想平方，左边=(3/2*3/2)*(5/4*5/4)*…*(2n+1/2n)*(2n+1/2n)>(3/2*4/3)*(5/4*6
1.高中数学 数列放缩问题
放缩法：常用于证明数列的不等式，需要注意左右式子的特点，比如有根号，或平方，或有理化。要针对不同的特点来处理，然后再放缩。举个例子：证明(3/2)*(5/4)*(7/6)*…*(2n+1)/2n>根号n+1，n?正整数，右边有根号，想平方，左边=(3/2*3/2)*(5/4*5/4)*…*(2n+1/2n)*(2n+1/2n)>(3/2*4/3)*(5/4*6/5)*…*(2n+1/2n)*(2n+2/2n+1)=n+1.于是不等式得证！构造法：构造数列{an+3}
a(n+1)+3=2(an+3)
设bn=an+3
则：b（n+1）=2bn
这是一个等比数列
bn=b1*2^(n-1)
b1=a1+3=4
所以bn=2^(n+1)
2^(n+1)=an+3
an=2^(n+1)-3
这就是数列的构造法
高中数学 数列放缩问题
放缩法（中间量过渡法）
若欲证a>c，可利用不等式的传递性：a>b，b>c，则a>c。因在证题中引进了介于a、b之间的量，故称此法为中间量过渡法（或放缩法）。用放缩法证明不等式的常见技巧有：
①
将分式的分子或分母放大（或缩小）
②
各项都用最大项（或最小项）代替
③
舍去或添加某些项
④
用不等式a2+b2≥2ab（a、b∈R），a+b≥
（a、b>0）进行放缩。
我的思路是这样的：
a1=1，所以也就要证明1/a2+...+1/an<1/2，于是很容易想到尝试一下，能不能搞成a2>4,a3>8,an>2^n，这样1/4+1/8+...肯定小于1/2。事实上，这样成功了。
下证明：当n>1时，an>2^n，即3^n>2^(n+1)，遇到这种情况最简单的处理莫过于数学归纳法。
n=2时，9>8，成立
当n=k时成立，则当n=k+1时，由于3^k>2^(k+1)，显然有3^(k+1)>2^(k+2)，因此对n=k+1成立
所以对一切n>1，有an>2^n
所以原始<1/1+1/4+1/8+...+1/2^n<3/2
