高考真题数列大题10道,高考真题数列

1.求 高考数列各种主要题型

2.高考数列大题求解

3.高考等差数列 ！！

4.数列求和有哪五种方法?

5.2017年高考数学必考等差数列公式

Xn=PXn-1-QXn-2

Xn-PXn-1+QXn-2=0 --------------(1)

将其化成下面格式(待定系数法):

Xn-A*Xn-1=B(Xn-1-AXn-2) ------------(2)

将(2)式展开,然后与(1)式的各项比较得:

A+B=P -------------(3)

A*B=Q -------------(4)

因此A,B为X^2-PX+Q=0的两根.不防设A=α，B=β

Xn-α*Xn-1=β(Xn-1-αXn-2) ----------------(5)

依(5)的递推式(分别代入n-1,n-2,n-3,...,4,3得:

Xn-1-α*Xn-2=β(Xn-2-αXn-3)-----------------(5.1)

Xn-2-α*Xn-3=β(Xn-3-αXn-4)-----------------(5.2)

Xn-3-α*Xn-4=β(Xn-4-αXn-5)-----------------(5.3)

......

X4-α*X3=β(X3-αX2)-----------------(5.n-4)

X3-α*X2=β(X2-αX1)-----------------(5.n-3)

(5)*(5.1)*(5.2)*(5.3)*...*(5.n-4)*(5.n-3)并消掉相同项:

Xn-α*Xn-1=(X2-αX1)*β^(n-2)

Xn=(X2-αX1)*β^(n-2) + α*Xn-1

=(X2-αX1)*β^(n-2) + (X2-αX1)*β^(n-3)*α + α^2*Xn-2

=(X2-αX1)*β^(n-2) + (X2-αX1)*β^(n-3)*α + (X2-αX1)*β^(n-4)*α^2 + α^2*Xn-2

... ...

=(X2-αX1)*β^(n-2) + (X2-αX1)*β^(n-3)*α + (X2-αX1)*β^(n-4)*α^2+...+(X2-αX1)*β^(n-m)*α^(m-2)+...+(X2-αX1)*α^(n-2) + α^(n-1)*X1

等比数列求和(公比为:α/β) + α^(n-1)*X1

过程比较复杂,建议你参考:

斐波那挈数列通项公式的推导:

斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21……

如果设F(n)为该数列的第n项(n∈N+)。那么这句话可以写成如下形式：

F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3)

显然这是一个线性递推数列。

通项公式的推导方法一：利用特征方程

线性递推数列的特征方程为：

X^2=X+1

解得

X1=(1+√5)/2, X2=(1-√5)/2.

则F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n

∵F(1)=F(2)=1

∴C1*X1 + C2*X2

C1*X1^2 + C2*X2^2

解得C1=1/√5，C2=-1/√5

∴F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}√5表示根号5

通项公式的推导方法二：普通方法

设常数r,s

使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]

则r+s=1, -rs=1

n≥3时，有

F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]

F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]

F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]

……

F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)]

将以上n-2个式子相乘，得：

F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)]

∵s=1-r，F(1)=F(2)=1

上式可化简得：

F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)

那么：

F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)

= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2)

= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3)

……

= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F(1)

= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)

（这是一个以s^(n-1)为首项、以r^(n-1)为末项、r/s为公差的等比数列的各项的和）

=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s)

=(s^n - r^n)/(s-r)

r+s=1, -rs=1的一解为 s=(1+√5)/2, r=(1-√5)/2

则F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}

求 高考数列各种主要题型

证明:两边同时加n得：An+n=2A(n-1)-2+2n

即An+n=2A(n-1)+2（n-1）

所以得（An+n）/[A(n-1)+（n-1）]=2

所以{An+n}是以2为首项，2为公比的等比数列

（1）an+n=2的n次幂

an=2的n次幂-n

(2)sn=2+2的2次+2的三次+...+2的n次—（1+2+3+4+....+n）

=2（2的n次-1）-1/2·n(1+n)

高考数列大题求解

求数列通项公式的常规思想方法列举（配典型例题）

数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。而作为给出数列的一种形式——通项公式，在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项公式的常用方法。

一． 观察法

例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：

（1）9，99，999，9999，…

（2）

（3）

（4）

解：（1）变形为：101－1，102―1，103―1，104―1，……

∴通项公式为：

（2） （3） （4） .

观察各项的特点，关键是找出各项与项数n的关系。

二、定义法

例2： 已知数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列，若函数f (x) = (x－1)2，且a1 = f (d－1)，a3 = f (d+1)，b1 = f (q+1)，b3 = f (q－1)，

(1)求数列{ a n }和{ b n }的通项公式；

解：(1)∵a 1=f (d－1) = (d－2)2，a 3 = f (d+1)= d 2，

∴a3－a1=d2－(d－2)2=2d，

∴d=2，∴an=a1+(n－1)d = 2(n－1)；又b1= f (q+1)= q2，b3 =f (q－1)=(q－2)2，

∴ =q2，由q∈R，且q≠1，得q=－2，

∴bn=b?qn－1=4?(－2)n－1

当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。

三、 叠加法

例3：已知数列6，9，14，21，30，…求此数列的一个通项。

解 易知

∵

……

各式相加得 ∴

一般地，对于型如 类的通项公式，只要 能进行求和，则宜用此方法求解。

四、叠乘法

例4：在数列｛ ｝中， =1, (n+1)? =n? ，求 的表达式。

解：由(n+1)? =n? 得 ，

= … = 所以

一般地，对于型如 = (n)? 类的通项公式，当 的值可以求得时，宜用此方法。

五、公式法

若已知数列的前 项和 与 的关系，求数列 的通项 可用公式

求解。

例5：已知下列两数列 的前n项和sn的公式，求 的通项公式。

（1） 。 （2）

解： （1）

= = =3

此时， 。∴ =3 为所求数列的通项公式。

（2） ，当 时

由于 不适合于此等式 。 ∴

注意要先分n=1和 两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。

例6. 设数列 的首项为a1=1，前n项和Sn满足关系

求证：数列 是等比数列。

解析：因为

所以

所以，数列 是等比数列。

六、阶差法

例7.已知数列 的前 项和 与 的关系是

，其中b是与n无关的常数，且 。

求出用n和b表示的an的关系式。

解析：首先由公式： 得：

利用阶差法要注意：递推公式中某一项的下标与其系数的指数的关系，即

其和为 。

七、待定系数法

例8：设数列 的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若c1=2，c2=4，c3=7，c4=12，求通项公式cn

解：设

点评：用待定系数法解题时，常先定通项公式或前n项和公式为某一多项式，一般地，若数列 为等差数列：则 ， （b、c为常数），若数列 为等比数列，则 ， 。

八、 数列法

有些数列本身并不是等差或等比数列，但可以经过适当的变形，构造出一个新的数列为等差或等比数列，从而利用这个数列求其通项公式。

例9.在数列 中， ， ， ，求 。

解析：在 两边减去 ，得

∴ 是以 为首项，以 为公比的等比数列，

∴ ，由累加法得

=

= … = =

=

例10.（2003年全国高考题）设 为常数，且 （ ），

证明：对任意n≥1，

证明：设，

用 代入可得

∴ 是公比为 ，首项为 的等比数列，

∴ （ ），

即：

型如an+1=pan+f(n) (p为常数且p≠0, p≠1)可用转化为等比数列等.

(1)f(n)= q (q为常数)，可转化为an+1+k=p(an+k)，得{ an+k }是以a1+k为首项，p为公比的等比数列。

例11：已知数 的递推关系为 ，且 求通项 。

解：∵ ∴

令

则数列 是公比为2的等比数列

∴ 即 ∴

例12： 已知数列｛ ｝中 且 （ ），，求数列的通项公式。

解：∵

∴ ， 设 ，则

故｛ ｝是以 为首项，1为公差的等差数列

∴ ∴

例13.（07全国卷Ⅱ理21）设数列 的首项 ．

（1）求 的通项公式；

解：（1）由

整理得 ．

又 ，所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，得

注：一般地，对递推关系式an+1=pan+q (p、q为常数且，p≠0，p≠1)可等价地改写成

则{ }成等比数列，实际上，这里的 是特征方程x=px+q的根。

(2) f(n)为等比数列，如f(n)= qn (q为常数) ，两边同除以qn，得 ，令bn= ，可转化为bn+1=pbn+q的形式。

例14.已知数列{an}中，a1= ， an+1= an+（ ）n+1，求an的通项公式。

解：an+1= an+（ ）n+1 乘以2n+1 得 2n+1an+1= (2nan)+1 令bn=2nan 则 bn+1= bn+1

易得 bn= 即 2nan=

∴ an=

(3) f(n)为等差数列

例15.已知已知数列{an}中，a1=1，an+1+an=3+2 n，求an的通项公式。

解：∵ an+1+an=3+2 n，an+2+an+1=3+2(n+1)，两式相减得an+2-an=2

因此得，a2n+1=1+2(n-1), a2n=4+2(n-1), ∴ an= 。

注：一般地，这类数列是递推数列的重点与难点内容，要理解掌握。

(4) f(n)为非等差数列，非等比数列

例16.（07天津卷理）在数列 中， ，其中 ．

（Ⅰ）求数列 的通项公式；

解：由 ， ，

可得 ，

所以 为等差数列，其公差为1，首项为0，故 ，所以数列 的通项公式为 ．

这种方法类似于换元法, 主要用于已知递推关系式求通项公式。

九、归纳、猜想

如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项，我们可以根据前几项的规律，归纳猜想出数列的通项公式，然后再用数学归纳法证明之。

例17.（2002年北京春季高考）已知点的序列 ，其中 ， ， 是线段 的中点， 是线段 的中点，…， 是线段 的中点，…

（1） 写出 与 之间的关系式（ ）。

（2） 设 ，计算 ，由此推测 的通项公式，并加以证明。

（3） 略

解析：（1）∵ 是线段 的中点， ∴

（2） ，

= ，

= ，

猜想 ，下面用数学归纳法证明

当n=1时， 显然成立；

设n=k时命题成立，即

则n=k+1时， =

=

∴ 当n=k+1时命题也成立，∴ 命题对任意 都成立。

例18：在数列｛ ｝中， ，则 的表达式为 。

分析：因为 ，所以得： ，

猜想： 。

十、倒数法

数列有形如 的关系，可在等式两边同乘以 先求出

例19．设数列 满足 求

解：原条件变形为 两边同乘以 得 .

∵

∴

综而言之，等差、等比数列是两类最基本的数列，是数列部分的重点，自然也是高考考查的热点，而考查的目的在于测试灵活运用知识的能力，这个“灵活”往往集中在“转化”的水平上；以上介绍的仅是常见可求通项基本方法,同学们应该在学习不断的探索才能灵活的应用.只要大家认真的分析求通项公式并不困难.

高考等差数列 ！！

⑴ a(n+1)=(1+1/n)an+(n+1)/2^n

a(n+1)=[(n+1)/n]an+(n+1)/2^n

两边同除(n+1)得：a(n+1)/(n+1)=an/n+1/2^n

b1=a1/1=1

b(n+1)-bn=1/2^n

n>=2时

b2-b1=1/2

b3-b2=1/2^2

……

bn-b(n-1)=1/2^(n-1)

把以上n-1个等式相加：bn-b1=bn-1=1/2+1/2^2+…+1/2^(n-1)=1-1/2^(n-1)

bn=2-1/2^(n-1)，b1=1也适合此式。

所以，数列{bn}的通项公式为：bn=2-1/2^(n-1)，(n为正整数)

⑵

bn=an/n=2-1/2^(n-1)

an=2n-n/2^(n-1)

Sn=2-1/2^0+4-2/2+6-3/2^2+…+2n-n/2^(n-1)

=(2+4+6+…+2n)-[1/2^0+2/2+3/2^3+…+n/2^(n-1)]

=n(n+1)-[1/2^0+2/2+3/2^3+…+n/2^(n-1)]

设Tn=1/2^0+2/2+3/2^3+…+n/2^(n-1) (1)

(1/2)*(1)得：(1/2)Tn=1/2+2/2^2+3/2^3+…+n/2^n (2)

(1)-(2)得：

(1/2)Tn=1+1/2+1/2^2+1/2^3+…+1/2^(n-1)-n/2^n=2-1/2^(n-1)-n/2^n

Tn=4-1/2^(n-2)-2n/2^(n-2)=4-(2n+1)/2^(n-2)

Sn=n(n+1)-Tn=n(n+1)+(2n+1)/2^(n-2)-4，n为正整数。

注：”∧n“指”n次方“

希望回答对你有帮助。

数列求和有哪五种方法?

原方程的解即方程x?-2x+m=0与x?-2x+n=0的解

记x1、x2为x?-2x+m=0的根，x3、x4为x?-2x+n=0的根

则有x1+x2=2、x3+x4=2(韦达定理，也可用二次方程通解加出来)

而由题目可知x1、x2、x3、x4可排成等差数列且至少有一个为1/4

由于x1+x2=2、x3+x4=2，有一个为1/4则另一个必为7/4，而另外两个相加仍为2且可放入首项为1/4的等差数列，故必为3/4，5/4

不妨令x1、x2、x3、x4分别等于1/4、7/4、3/4、5/4

则m=7/16，n=15/16

则|m-n|=1/2

变换x1、x2、x3、x4的顺序不会影响结果

2017年高考数学必考等差数列公式

一、利用常用求和公式求和

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.

1、 等差数列求和公式：

2、 等比数列求和公式：

自然数方幂和公式：

3、 4、

5、

[例] 求和1＋x2＋x4＋x6＋…x2n+4(x≠0)

∴该数列是首项为1,公比为x2的等比数列而且有n+3项

当x2＝1 即x＝±1时 和为n+3

评注：

(1)利用等比数列求和公式．当公比是用字母表示时,应对其是否为1进行讨论,如本题若为“等比”的形式而并未指明其为等比数列,还应对x是否为0进行讨论．

(2)要弄清数列共有多少项,末项不一定是第n项．

对应高考考题：设数列1,（1+2）,…,（1+2+ ）,……的前顶和为 ,则 的值.

二、错位相减法求和

错位相减法求和在高考中占有相当重要的位置,近几年来的高考题其中的数列方面都出了这方面的内容.需要我们的学生认真掌握好这种方法.这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{an? bn}的前n项和,其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比 ；然后再将得到的新和式和原和式相减,转化为同倍数的等比数列求和,这种方法就是错位相减法.

[例] 求和：（ ）………………………①

由题可知,{ }的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{ }的通项之积

设 ……………………….② （设制错位）

①－②得 （错位相减）

再利用等比数列的求和公式得：

∴

注意、1 要考虑 当公比x为值1时为特殊情况

2 错位相减时要注意末项

此类题的特点是所求数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘.

对应高考考题：设正项等比数列 的首项 ,前n项和为 ,且 .（Ⅰ）求 的通项； （Ⅱ）求 的前n项和 .

三、反序相加法求和

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列（反序）,再把它与原数列相加,就可以得到n个 .

[例] 求证：

证明：设 …………………………..①

把①式右边倒转过来得

（反序）

又由 可得

…………..……..②

①+②得 （反序相加）

∴

四、分组法求和

有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.

若数列 的通项公式为 ,其中 中一个是等差数列,另一个是等比数列,求和时一般用分组结合法.

[例]：求数列 的前n项和；

分析：数列的通项公式为 ,而数列 分别是等差数列、等比数列,求和时一般用分组结合法；

[解] ：因为 ,所以

（分组）

前一个括号内是一个等比数列的和,后一个括号内是一个等差数列的和,因此

五、裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：

（1） （2）

（3） （4）

（5）

[例] 求数列 的前n项和.

设 （裂项）

则 （裂项求和）

＝

＝

小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后,其中中间的大部分项都互相抵消了.只剩下有限的几项.

注意：余下的项具有如下的特点

1余下的项前后的位置前后是对称的.

2余下的项前后的正负性是相反的.

[练习] 在数列{an}中,,又 ,求数列{bn}的前n项的和.

　等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。以下是我为您整理的关于2017年高考数学必考等差数列公式的相关资料，希望对您有所帮助。

　高中数学知识点：等差数列公式

　等差数列公式an=a1+(n-1)d

　a1为首项，an为第n项的通项公式，d为公差

　前n项和公式为：Sn=na1+n(n-1)d/2

　Sn=(a1+an)n/2

　若m+n=p+q则：存在am+an=ap+aq

　若m+n=2p则：am+an=2ap

　以上n.m.p.q均为正整数

　解析：第n项的值an=首项+(项数-1)?公差

　前n项的和Sn=首项?n+项数(项数-1)公差/2

　公差d=(an-a1)?(n-1)

　项数=(末项-首项)?公差+1

　数列为奇数项时，前n项的和=中间项?项数

　数列为偶数项，求首尾项相加，用它的和除以2

　等差中项公式2an+1=an+an+2其中{an}是等差数列

　通项公式：公差?项数+首项-公差

　高中数学知识点：等差数列求和公式

　若一个等差数列的首项为a1，末项为an那么该等差数列和表达式为：

　S=(a1+an)n?2

　即(首项+末项)?项数?2

　前n项和公式

　注意：n是正整数(相当于n个等差中项之和)

　等差数列前N项求和，实际就是梯形公式的妙用：

　上底为：a1首项，下底为a1+(n-1)d，高为n。

　即[a1+a1+(n-1)d]* n/2={a1n+n(n-1)d}/2。

　高中数学知识点：推理过程

　设首项为 , 末项为 , 项数为 , 公差为 , 前 项和为 , 则有:

　当d?0时，Sn是n的二次函数，(n，Sn)是二次函数 的图象上一群孤立的点。利用其几何意义可求前n项和Sn的最值。

　注意：公式一二三事实上是等价的，在公式一中不必要求公差等于一。

　求和推导

　证明：由题意得：

　Sn=a1+a2+a3+。。。+an①

　Sn=an+a(n-1)+a(n-2)+。。。+a1②

　①+②得：

　2Sn=[a1+an]+[a2+a(n-1)]+[a3+a(n-2)]+...+[a1+an](当n为偶数时)

　Sn={[a1+an]+[a2+a(n-1)]+[a3+a(n-2)]+...+[a1+an]}/2

　Sn=n(A1+An)/2 (a1，an，可以用a1+(n-1)d这种形式表示可以发现括号里面的数都是一个定值，即(A1+An)

　基本公式

　公式　Sn=(a1+an)n/2

　等差数列求和公式

　Sn=na1+n(n-1)d/2; (d为公差)

　Sn=An2+Bn; A=d/2,B=a1-(d/2)

　和为 Sn

　首项 a1

　末项 an

　公差d

　项数n

　表示方法

　等差数列基本公式:

　末项=首项+(项数-1)?公差

　项数=(末项-首项)?公差+1

　首项=末项-(项数-1)?公差

　和=(首项+末项)?项数?2

　差:首项+项数?(项数-1)?公差?2

　说明

　末项:最后一位数

　首项:第一位数

　项数:一共有几位数

　和:求一共数的总和

　本段通项公式

　首项=2?和?项数-末项

　末项=2?和?项数-首项

　末项=首项+(项数-1)?公差:a1+(n-1)d

　项数=(末项-首项)/ 公差+1 :n=(an-a1)/d+1

　公差= d=(an-a1)/n-1

　如：1+3+5+7+?99 公差就是3-1

　将a1推广到am，则为:

　d=(an-am)/n-m

　基本性质

　若 m、n、p、q?N

　①若m+n=p+q，则am+an=ap+aq

　②若m+n=2q，则am+an=2aq(等差中项)